सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए,$3(5^{2n+1}) + 2^{3n+1}$ किससे विभाज्य है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{3} + \ldots + n \cdot 3^{n} = \frac{(2n - 1) 3^{n+1} + 3}{4}$

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $2^{3n} - 1$,$7$ से विभाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1$.

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके दर्शाइए कि एक अनुक्रम $b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots$ के लिए,जो $b_{0}=5$ और $b_{k}=4+b_{k-1}$ द्वारा सभी प्राकृतिक संख्याओं $k$ के लिए परिभाषित है,सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $b_{n}=5+4n$ है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए:
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{3^{n}-1}{2}$