$n$ ના તમામ ધન પૂર્ણાંક મૂલ્યો માટે,${3^{2n}} - 2n + 1$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,સંખ્યાઓ $a_n$ ને $a_0=1$ અને $a_{n+1}=3n^2+n+a_n$ $(n \geq 0)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તો $a_n=$

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે:
$\cos \alpha + \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha + 2\beta) + \ldots + \cos [\alpha + (n-1)\beta] = \frac{\cos \left[\alpha + \left(\frac{n-1}{2}\right) \beta\right] \sin \left(\frac{n\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)}$

ધારો કે $P(n): 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 = \frac{6(n-1)(n-2) \ldots(n-2020)+2n^3+3n^2+n}{6}$,તમામ $n \in N$ માટે. તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

બધા $n \ge 1$ માટે,સાબિત કરો કે $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$

જો $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય,તો $2 \cdot 4^{2n+1} + 3^{3n+1}$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?