$n$ के सभी धनात्मक पूर्णांक मानों के लिए,${3^{2n}} - 2n + 1$ किससे विभाज्य है?

सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए,यदि $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 > x$ है,तो $x=$

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए:
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{3^{n}-1}{2}$

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$a + ar + ar^{2} + \ldots + ar^{n-1} = \frac{a(r^{n} - 1)}{r - 1}$

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित असमिका सत्य है:
$(2n + 7) < (n + 3)^{2}$