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Question

(A) हमारे पास $f(x)=\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}$ है।क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम का उपयोग करके अवकलज $f^{\prime}(x)$ की गणना करते हैं:$f

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$\frac{1}{3}$

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(A) हमारे पास $f(x)=\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}$ है।क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम का उपयोग करके अवकलज $f^{\prime}(x)$ की गणना करते हैं:$f^{\prime}(x)=\frac{(1+x+x^2)(2x-1)-(1-x+x^2)(2x+1)}{(1+x+x^2)^2}$.अंश का विस्तार करने पर:$f^{\prime}(x)=\frac{(2x-1+2x^2-x+2x^3-x^2)-(2x+1-2x^2-x+2x^3+x^2)}{(1+x+x^2)^2}$.$f^{\prime}(x)=\frac{(2x^3+x^2+x-1)-(2x^3-x^2+x+1)}{(1+x+x^2)^2}$.$f^{\prime}(x)=\frac{2x^2-2}{(1+x+x^2)^2} = \frac{2(x^2-1)}{(1+x+x^2)^2}$.$f^{\prime}(x)=0$ रखने पर,हमें $x^2-1=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x=1$ या $x=-1$.इन बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करने पर:$x=1$ के लिए,$f(1)=\frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$.$x=-1$ के लिए,$f(-1)=\frac{1-(-1)+(-1)^2}{1+(-1)+(-1)^2} = \frac{1+1+1}{1-1+1} = 3$.मानों की तुलना करने पर,$f(x)$ का न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।

सभी वास्तविक $x$ के लिए,फलन $f(x)=\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}$ का न्यूनतम मान है

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