કોઈપણ y in R માટે,ધારો કે cot ^{-1}(y) in (0, | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ સમીકરણ: $	an ^{-1}\left(\frac{6 y}{9-y^2}ight)+\cot ^{-1}\left(\frac{9-y^2}{6 y}ight)=\frac{2 \pi}{3}$.
ધારો કે $x = \frac{6y}{9-y^2}$.

Vedclass · Accepted Answer

$4 \sqrt{3}-6$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ સમીકરણ: $ an ^{-1}\left(\frac{6 y}{9-y^2} ight)+\cot ^{-1}\left(\frac{9-y^2}{6 y} ight)=\frac{2 \pi}{3}$. ધારો કે $x = \frac{6y}{9-y^2}$. તો સમીકરણ $ an^{-1}(x) + \cot^{-1}(\frac{1}{x}) = \frac{2\pi}{3}$ બને છે. કિસ્સો-$I$: જો $x > 0$ હોય,તો $\cot^{-1}(\frac{1}{x}) = an^{-1}(x)$. તેથી,$2 an^{-1}(x) = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow an^{-1}(x) = \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \sqrt{3}$. $\frac{6y}{9-y^2} = \sqrt{3} \Rightarrow 6y = 9\sqrt{3} - \sqrt{3}y^2 \Rightarrow \sqrt{3}y^2 + 6y - 9\sqrt{3} = 0 \Rightarrow y^2 + 2\sqrt{3}y - 9 = 0$. $y$ માટે ઉકેલતા: $y = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 36}}{2} = -\sqrt{3} \pm \sqrt{12} = -\sqrt{3} \pm 2\sqrt{3}$. કારણ કે $x > 0$,આપણી પાસે $y > 0$ છે ( $y \in (0, 3)$ માટે),તેથી $y = \sqrt{3}$. કિસ્સો-$II$: જો $x < 0$ હોય,તો $\cot^{-1}(\frac{1}{x}) = \pi + an^{-1}(x)$. તેથી,$2 an^{-1}(x) + \pi = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow 2 an^{-1}(x) = -\frac{\pi}{3} \Rightarrow an^{-1}(x) = -\frac{\pi}{6} \Rightarrow x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. $\frac{6y}{9-y^2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow 6\sqrt{3}y = -9 + y^2 \Rightarrow y^2 - 6\sqrt{3}y - 9 = 0$. $y$ માટે ઉકેલતા: $y = \frac{6\sqrt{3} \pm \sqrt{108 + 36}}{2} = 3\sqrt{3} \pm \sqrt{36} = 3\sqrt{3} \pm 6$. કારણ કે $x < 0$,આપણી પાસે $y \in (-3, 0)$ છે,તેથી $y = 3\sqrt{3} - 6$. ઉકેલોનો સરવાળો = $\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 6 = 4\sqrt{3} - 6$.

Similar Questions

નીચેનામાંથી શેમાં બીજાણુજનક (sporophyte) એ જન્યુજનક (gametophyte) પર પરોપજીવી છે?

$100 \ mL$ ના $0.3 \ M$ $H_3PO_3$ ના દ્રાવણને સંપૂર્ણપણે તટસ્થ કરવા માટે જરૂરી $0.1 \ M$ $NaOH$ ના દ્રાવણનું કદ ($mL$ માં) કેટલું હશે?

જો $a = \hat{i} + 4 \hat{j}$,$b = 2 \hat{i} - 2 \hat{j}$,અને $c = 5 \hat{i} + 9 \hat{j}$ હોય,તો $c$ કોના બરાબર છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module