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Question

(B) दिया गया है $G = (I - EF)^{-1}$,अतः $G^{-1} = I - EF$.चूंकि $G G^{-1} = I = G^{-1} G$,हमारे पास $G(I - EF) = I = (I - EF)G$ है।इसका विस्तार करने प

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$A, B, D$

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(B) दिया गया है $G = (I - EF)^{-1}$,अतः $G^{-1} = I - EF$.चूंकि $G G^{-1} = I = G^{-1} G$,हमारे पास $G(I - EF) = I = (I - EF)G$ है।इसका विस्तार करने पर,$G - GEF = I = G - EFG$,जो दर्शाता है कि $GEF = EFG$ है। अतः,$(C)$ $TRUE$ है।आगे,$(I - FE)(I + FGE) = I + FGE - FE - FEFGE$ पर विचार करें।चूंकि $G^{-1} = I - EF$,हमारे पास $EF = I - G^{-1}$ है। यह मान रखने पर,$FEF = F(I - G^{-1}) = F - FG^{-1}$ प्राप्त होता है।वैकल्पिक रूप से,$FEFGE = F(EF)GE = F(I - G^{-1})GE = FGE - FG^{-1}GE = FGE - FE$ है।वापस रखने पर: $I + FGE - FE - (FGE - FE) = I$ प्राप्त होता है। अतः,$(B)$ $TRUE$ है।$(I - FE)(I + FGE) = I$ से,दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|I - FE| |I + FGE| = |I| = 1$ प्राप्त होता है।इसके अलावा,$FE(I + FGE) = FE + FEFGE = FE + F(EF)GE = FE + F(I - G^{-1})GE = FE + FGE - FE = FGE$ है।सारणिक लेने पर: $|FE| |I + FGE| = |FGE|$ प्राप्त होता है।चूंकि $|I + FGE| = \frac{1}{|I - FE|}$,हमें $|FE| \frac{1}{|I - FE|} = |FGE|$ प्राप्त होता है,जो दर्शाता है कि $|FE| = |I - FE| |FGE|$ है। अतः,$(A)$ $TRUE$ है।इसलिए,सही कथन $(A), (B), (C)$ हैं।

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समीकरण $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + 1}&{{x^2}y}&{{x^2}z}\\{x{y^2}}&{{y^3} + 1}&{{y^2}z}\\{x{z^2}}&{y{z^2}}&{{z^3} + 1}\end{array}} \right| = 11$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या क्या है?

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 5 & \sin^2 \theta & \cos^2 \theta \\ -\sin^2 \theta & -5 & 1 \\ \cos^2 \theta & 1 & 5 \end{bmatrix}$ है। तो $\det(A)$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

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