किसी भी $n \in N$ के लिए,$4^n+15n-1$ किससे विभाज्य है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$a+(a+d)+(a+2d)+\ldots+(a+(n-1)d) = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $3^{2n} - 1$,$8$ से विभाज्य है।

सभी $n \ge 1$ के लिए,सिद्ध कीजिए कि: $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}$

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए:
$7^{n}-3^{n}$,$4$ से विभाज्य है।

यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,तो $2 \cdot 4^{2n+1} + 3^{3n+1}$ किससे विभाज्य है?