गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $3^{2n} - 1$,$8$ से विभाज्य है।

(N/A) माना $P(n): 3^{2n} - 1$,$8$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,$P(1) = 3^{2(1)} - 1 = 9 - 1 = 8$,जो $8$ से विभाज्य है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $3^{2k} - 1 = 8m$,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है। इससे $3^{2k} = 8m + 1$ $(i)$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: $n = k + 1$ के लिए,हमें यह दिखाना है कि $P(k + 1)$ सत्य है,अर्थात $3^{2(k+1)} - 1$,$8$ से विभाज्य है।
$3^{2(k+1)} - 1 = 3^{2k+2} - 1 = 3^{2k} \cdot 3^2 - 1 = 9 \cdot 3^{2k} - 1$.
$(i)$ का उपयोग करने पर,$9(8m + 1) - 1 = 72m + 9 - 1 = 72m + 8 = 8(9m + 1)$.
चूंकि $8(9m + 1)$,$8$ से विभाज्य है,इसलिए $P(k + 1)$ सत्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए $P(n)$ सत्य है।