ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે $3^{2n} - 1$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે $P(n): 3^{2n} - 1$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n = 1$ માટે,$P(1) = 3^{2(1)} - 1 = 9 - 1 = 8$,જે $8$ વડે વિભાજ્ય છે. આમ,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $3^{2k} - 1 = 8m$,જ્યાં $m$ કોઈ પૂર્ણાંક છે. આથી $3^{2k} = 8m + 1$ $(i)$.
પગલું $3$: $n = k + 1$ માટે,આપણે દર્શાવવું છે કે $P(k + 1)$ સત્ય છે,એટલે કે $3^{2(k+1)} - 1$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય છે.
$3^{2(k+1)} - 1 = 3^{2k+2} - 1 = 3^{2k} \cdot 3^2 - 1 = 9 \cdot 3^{2k} - 1$.
$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,$9(8m + 1) - 1 = 72m + 9 - 1 = 72m + 8 = 8(9m + 1)$.
કારણ કે $8(9m + 1)$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $P(k + 1)$ સત્ય છે.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,તમામ $n \in \mathbb{N}$ માટે $P(n)$ સત્ય છે.