प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए,{3^{2n + 2 | vedclass

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Question

(A) माना $P(n) = 3^{2n+2} - 8n - 9$. $n=1$ के लिए,$P(1) = 3^4 - 8(1) - 9 = 81 - 17 = 64$,जो $16$ से विभाज्य है। $n=2$ के लिए,$P(2) = 3^6 - 8(2) - 9 =

Vedclass · Accepted Answer

$16$

Vedclass · Answer

(A) माना $P(n) = 3^{2n+2} - 8n - 9$. $n=1$ के लिए,$P(1) = 3^4 - 8(1) - 9 = 81 - 17 = 64$,जो $16$ से विभाज्य है। $n=2$ के लिए,$P(2) = 3^6 - 8(2) - 9 = 729 - 16 - 9 = 704$. $704 = 16 	imes 44$,अतः यह $16$ से विभाज्य है। द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए: $3^{2n+2} = 9 	imes 3^{2n} = 9 	imes (1+8)^n$. $9 	imes (1+8)^n = 9 	imes [1 + n(8) + \frac{n(n-1)}{2}(8^2) + \dots]$. $9 	imes [1 + 8n + 32n(n-1) + \dots] = 9 + 72n + 288n(n-1) + \dots$. अतः,$P(n) = 9 + 72n + 288n(n-1) + \dots - 8n - 9 = 64n + 288n(n-1) + \dots$. चूंकि प्रत्येक पद $64$ से विभाज्य है,इसलिए यह व्यंजक $64$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप $16$ से भी विभाज्य है।

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,${3^{2n + 2}} - 8n - 9$ किससे विभाज्य है?

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