धनात्मक पूर्णांक n के लिए, n^{3} + 2n हमेशा क | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) माना $f(n) = n^{3} + 2n$. हम इसे $f(n) = n^{3} - n + 3n = (n-1)n(n+1) + 3n$ के रूप में लिख सकते हैं। यहाँ, $(n-1)n(n+1)$ तीन क्रमागत पूर्णांकों का

Vedclass · Accepted Answer

$3$

Vedclass · Answer

(A) माना $f(n) = n^{3} + 2n$. हम इसे $f(n) = n^{3} - n + 3n = (n-1)n(n+1) + 3n$ के रूप में लिख सकते हैं। यहाँ, $(n-1)n(n+1)$ तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है, जो हमेशा $3! = 6$ से विभाज्य होता है। हालाँकि, व्यंजक $n^{3} + 2n$ विशेष रूप से $3$ से विभाज्य है क्योंकि फर्मा के लिटिल प्रमेय के अनुसार $n^{3} \equiv n \pmod{3}$, इसलिए $n^{3} + 2n \equiv n + 2n = 3n \equiv 0 \pmod{3}$। मानों की जाँच करने पर: $n=1$ के लिए, $1^{3} + 2(1) = 3$ ($3$ से विभाज्य)। $n=2$ के लिए, $2^{3} + 2(2) = 12$ ($3$ से विभाज्य)। $n=3$ के लिए, $3^{3} + 2(3) = 33$ ($3$ से विभाज्य)। अतः, यह हमेशा $3$ से विभाज्य है।

धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए, $n^{3} + 2n$ हमेशा किससे विभाज्य है?

Similar Questions

$n = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए संख्याएँ $a_n = 6^n - 5n$ को $25$ से विभाजित करने पर शेषफल क्या प्राप्त होता है?

व्यंजक $x(x^{n-1} - na^{n-1}) + a^n(n-1)$,$(x-a)^2$ से विभाज्य है,इसके लिए:

यदि $30 \cdot 5^{2n} + 4 \cdot 2^{3n}$ का सबसे बड़ा भाजक $p, \forall n \in N$ है और $2^{2n+1} - 6n - 2$ का सबसे बड़ा भाजक $q, \forall n \in N$ है, तो $p+q=$

जब $7^{103}$ को $23$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल क्या होगा?

यदि व्यंजक $5^{2n} - 48n + k$ सभी $n \in N$ के लिए $24$ से विभाज्य है,तो $k$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module