यदि $30 \cdot 5^{2n} + 4 \cdot 2^{3n}$ का सबसे बड़ा भाजक $p, \forall n \in N$ है और $2^{2n+1} - 6n - 2$ का सबसे बड़ा भाजक $q, \forall n \in N$ है, तो $p+q=$

जब $8^{2n} - 62^{2n+1}$ को $9$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल क्या होगा?

कथन $-1$: प्रत्येक प्राकृत संख्या $n$ के लिए,$(n + 1)^7 - n^7 - 1$,$7$ से विभाज्य है।
कथन $-2$: प्रत्येक प्राकृत संख्या $n$ के लिए,$n^7 - n$,$7$ से विभाज्य है।

नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन $I$: $25^{13} + 20^{13} + 8^{13} + 3^{13}$, $7$ से विभाज्य है।
कथन $II$: $(7 + 4\sqrt{3})^{25}$ का पूर्णांक भाग एक विषम संख्या है।
उपरोक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

यदि $P$,सभी $n \in N$ के लिए $49^{n}+16n-1$ का सबसे बड़ा भाजक है,तो $P$ के गुणनखंडों की संख्या है

तीन क्रमागत विषम संख्याओं के वर्गों का योग,जिसमें $1$ की वृद्धि की गई है,किससे विभाज्य है?