ધન પૂર્ણાંકો n_1, n_2 માટે, પદાવલિ (1 + i)^{n | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ પદાવલિ: $(1 + i)^{n_1} + (1 + i^3)^{n_1} + (1 + i^5)^{n_2} + (1 + i^7)^{n_2}$.$i^3 = -i$, $i^5 = i$, અને $i^7 = -i$ હોવાથી, પદાવલિ નીચે મુજબ

Vedclass · Accepted Answer

$n_1 > 0, n_2 > 0$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ પદાવલિ: $(1 + i)^{n_1} + (1 + i^3)^{n_1} + (1 + i^5)^{n_2} + (1 + i^7)^{n_2}$.$i^3 = -i$, $i^5 = i$, અને $i^7 = -i$ હોવાથી, પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:$(1 + i)^{n_1} + (1 - i)^{n_1} + (1 + i)^{n_2} + (1 - i)^{n_2}$.ધારો કે $z = (1 + i)^{n} + (1 - i)^{n}$.ધ્રુવીય સ્વરૂપ $1 + i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$ અને $1 - i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$ નો ઉપયોગ કરતા:$z = (\sqrt{2})^n (e^{in\pi/4} + e^{-in\pi/4}) = 2^{n/2} \cdot 2 \cos(n\pi/4) = 2^{n/2+1} \cos(n\pi/4)$.કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $2^{n/2+1} \cos(n\pi/4)$ હંમેશા વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી, આવા બે પદોનો સરવાળો પણ હંમેશા વાસ્તવિક જ રહે છે.તેથી, આ પદાવલિ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $n_1$ અને $n_2$ માટે વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

ધન પૂર્ણાંકો $n_1, n_2$ માટે, પદાવલિ $(1 + i)^{n_1} + (1 + i^3)^{n_1} + (1 + i^5)^{n_2} + (1 + i^7)^{n_2}$, જ્યાં $i = \sqrt{-1}$ છે, તે વાસ્તવિક સંખ્યા છે જો અને માત્ર જો:

Similar Questions

$\frac{\sqrt{5 + 12i} + \sqrt{5 - 12i}}{\sqrt{5 + 12i} - \sqrt{5 - 12i}} = $

સંમેય સહગુણકો ધરાવતા બહુપદી સમીકરણના બે બીજ $\sqrt{3}+\sqrt{27}$ અને $\sqrt{2}+5i$ હોય,તો તે સમીકરણની ન્યૂનતમ ઘાત કેટલી થાય?

જો $z_1$ અને $z_2$ એ સમીકરણ $x^2+2x+2=0$ ના બીજ હોય,તો $\frac{-2^{11}(z_1+1+3i)^{11}}{2^5(z_2+1-3i)^{11}}$ ની કિંમત શોધો.

જો $x$ અને $y$ બે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ એવી હોય કે જેથી $x+iy = \frac{13 \sqrt{-5+12i}}{(2-3i)(3+2i)}$,તો $13y-26x=$

જો $e^{it} = \cos t + i \sin t$ અને $e^{-it} = \cos t - i \sin t$ હોય, તો $\cosh(x + iy) - \cosh(x - iy) =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module