કોઈ $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે,જો અતિવલય $x^{2} - y^{2} \sec^{2} \theta = 10$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ ઉપવલય $x^{2} \sec^{2} \theta + y^{2} = 5$ ની ઉત્કેન્દ્રતા કરતા $\sqrt{5}$ ગણી હોય,તો ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

સ્તંભ $I$ માં આપેલા શંકુઓને સ્તંભ $II$ માં આપેલા વિધાનો/પદાવલિઓ સાથે જોડો.

સ્તંભ $I$	સ્તંભ $II$
$(A)$ વર્તુળ	$(p)$ બિંદુ $(h, k)$ નો બિંદુપથ જેના માટે રેખા $h x+k y=1$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=4$ ને સ્પર્શે છે
$(B)$ પરવલય	$(q)$ સંકર સમતલમાં બિંદુઓ $z$ જે $|z+2|-|z-2|= \pm 3$ નું સમાધાન કરે છે
$(C)$ ઉપવલય	$(r)$ શંકુના બિંદુઓનું પ્રચલ સ્વરૂપ $x=\sqrt{3}\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right), y=\frac{2 t}{1+t^2}$ છે
$(D)$ અતિવલય	$(s)$ શંકુની ઉત્કેન્દ્રતા $1 \leq x < \infty$ અંતરાલમાં છે
	$(t)$ સંકર સમતલમાં બિંદુઓ $z$ જે $\operatorname{Re}(z+1)^2=|z|^2+1$ નું સમાધાન કરે છે

એક ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ અને પરવલય $x^2 = 4(y + b)$ એવા છે કે ઉપવલયના બે નાભિઓ અને પરવલયના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ એક ચોરસના શિરોબિંદુઓ છે. ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

એક વર્તુળનું કેન્દ્ર ઉપવલયના કેન્દ્ર સમાન છે અને તે ઉપવલયના નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ માંથી પસાર થાય છે,જેથી બંને વક્રો $4$ બિંદુઓમાં છેદે છે. ધારો કે $P$ એ તેમના છેદબિંદુઓમાંથી કોઈ એક બિંદુ છે. જો ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $17$ હોય અને ત્રિકોણ $PF_1F_2$ નું ક્ષેત્રફળ $30$ હોય,તો નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર કેટલું થાય?

$4x^{2} + 9y^{2} = 1$ અને $4x^{2} + y^{2} = 4$ શંકુચ્છેદોના છેદબિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે?

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિઓ અતિવલય $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ ના નાભિઓ સાથે સંપાતી હોય,તો $b^2$ ની કિંમત શોધો.