એક ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ અને પરવલય $x^2 = 4(y + b)$ એવા છે કે ઉપવલયના બે નાભિઓ અને પરવલયના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ એક ચોરસના શિરોબિંદુઓ છે. ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

જો પરવલય $y^2 = x$ ના બિંદુ $(\alpha, \beta)$,$(\beta > 0)$ આગળનો સ્પર્શક એ ઉપવલય $x^2 + 2y^2 = 1$ નો પણ સ્પર્શક હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ ના એક નાભિને કેન્દ્ર તરીકે લઈને એક વર્તુળ દોરવામાં આવે છે જે અતિવલયને સ્પર્શે છે અને વર્તુળનો કોઈ પણ ભાગ અતિવલયની બહાર નથી. વર્તુળની ત્રિજ્યા કેટલી છે?

વર્તુળ $x^2+y^2=2$ અને પરવલય $y^2=8x$ ના સામાન્ય સ્પર્શકો વર્તુળને $P, Q$ બિંદુઓ પર અને પરવલયને $R, S$ બિંદુઓ પર સ્પર્શે છે. તો ચતુષ્કોણ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.

$TP$ અને $TQ$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો છે. જો જીવા $PQ$ એ નિશ્ચિત બિંદુ $(-a, b)$ માંથી પસાર થતી હોય,તો $T$ નો બિંદુપથ શું છે?

ધારો કે અતિવલય $H : \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ એ બિંદુ $(2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$ માંથી પસાર થાય છે. એક પરવલય દોરવામાં આવે છે જેનું નાભિ $H$ ના ધન અભિસિસાવાળા નાભિ જેવું જ છે અને પરવલયની નિયામિકા $H$ ના બીજા નાભિમાંથી પસાર થાય છે. જો પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ એ $H$ ના નાભિલંબની લંબાઈના $e$ ગણી હોય,જ્યાં $e$ એ $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા છે,તો નીચેનામાંથી કયું બિંદુ પરવલય પર આવેલું છે?