एक दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ और परवलय $x^2 = 4(y + b)$ इस प्रकार हैं कि दीर्घवृत्त की दो नाभियाँ और परवलय के नाभिलंब के अंतिम बिंदु एक वर्ग के शीर्ष हैं। दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता है

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(b^{2} < 16)$ और अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{81}=\frac{1}{25}$ की नाभियाँ संपाती हैं,तो $b^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $\frac{1}{2}$ है और एक नाभि बिंदु $P\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ पर स्थित है। इसकी एक नियता, वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ और अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 1$ की बिंदु $P$ के निकटतम उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है। दीर्घवृत्त का मानक रूप में समीकरण ज्ञात कीजिए:

वक्रों $y^{2}=4ax$ और $x^{2}=4by$ के प्रतिच्छेदन का कोण ज्ञात कीजिए।

यदि नाभिलंब के अंत्य बिंदु दिए गए हों,तो कितने परवलय खींचे जा सकते हैं?

किसी $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए, मान लीजिए कि अतिपरवलय $x^{2} - y^{2} \sec^{2} \theta = 8$ की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई क्रमशः $e_{1}$ और $l_{1}$ हैं, और दीर्घवृत्त $x^{2} \sec^{2} \theta + y^{2} = 6$ की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई क्रमशः $e_{2}$ और $l_{2}$ हैं। यदि $e_{1}^{2} = e_{2}^{2}(\sec^{2} \theta + 1)$ है, तो $(\frac{l_{1}l_{2}}{e_{1}e_{2}}) \tan^{2} \theta$ का मान . . . . . . है।