वक्रों $y^{2}=4ax$ और $x^{2}=4by$ के प्रतिच्छेदन का कोण ज्ञात कीजिए।

(A) दिए गए वक्र $y^{2}=4ax \dots (i)$ और $x^{2}=4by \dots (ii)$ हैं।
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,हम $(i)$ में $y = \frac{x^{2}}{4b}$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\left(\frac{x^{2}}{4b}\right)^{2} = 4ax \Rightarrow \frac{x^{4}}{16b^{2}} = 4ax \Rightarrow x^{4} = 64ab^{2}x$.
इससे $x(x^{3} - 64ab^{2}) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 0$ या $x = 4a^{1/3}b^{2/3}$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(4a^{1/3}b^{2/3}, 4a^{2/3}b^{1/3})$ हैं।
$(i)$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{4a}{2y} = \frac{2a}{y}$। $(ii)$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{4b} = \frac{x}{2b}$।
$(0,0)$ पर,$(i)$ की स्पर्श रेखा ऊर्ध्वाधर $(x=0)$ है और $(ii)$ की स्पर्श रेखा क्षैतिज $(y=0)$ है,इसलिए कोण $\frac{\pi}{2}$ है।
$(4a^{1/3}b^{2/3}, 4a^{2/3}b^{1/3})$ पर,ढाल $m_{1} = \frac{2a}{4a^{2/3}b^{1/3}} = \frac{1}{2}(\frac{a}{b})^{1/3}$ और $m_{2} = \frac{4a^{1/3}b^{2/3}}{2b} = 2(\frac{a}{b})^{1/3}$ है।
कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = |\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}| = |\frac{2(a/b)^{1/3} - 0.5(a/b)^{1/3}}{1 + 2(a/b)^{1/3} \cdot 0.5(a/b)^{1/3}}| = \frac{1.5(a/b)^{1/3}}{1 + (a/b)^{2/3}} = \frac{3a^{1/3}b^{1/3}}{2(a^{2/3}+b^{2/3})}$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3a^{1/3}b^{1/3}}{2(a^{2/3}+b^{2/3})}\right)$।