यदि दीर्घवृत्त frac{x^2}{25}+frac{y^2}{16}=1 | vedclass

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Question

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ है। यहाँ $a^2=25$ और $b^2=16$ है।दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^2=a^2(1-e^2)$,अतः

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(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ है। यहाँ $a^2=25$ और $b^2=16$ है।दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^2=a^2(1-e^2)$,अतः $16=25(1-e^2)$,जिससे $e^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$ प्राप्त होता है,अर्थात $e=\frac{3}{5}$।दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 5 	imes \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ है। यहाँ $a^2=4$ है।माना अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_1$ है। नाभियाँ $(\pm ae_1, 0) = (\pm 2e_1, 0)$ हैं।चूँकि नाभियाँ संपाती हैं,$2e_1=3$,अतः $e_1=\frac{3}{2}$।अतिपरवलय के लिए,$b^2=a^2(e_1^2-1)$।मान रखने पर,$b^2=4((\frac{3}{2})^2-1) = 4(\frac{9}{4}-1) = 4(\frac{5}{4}) = 5$।

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की नाभियाँ संपाती हैं,तो $b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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