જો ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ અને અતિવલય $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ના નાભિઓ એકરૂપ હોય,તો $b^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $T_1$ અને $T_2$ એ ઉપવલય $E: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ અને પરવલય $P: y^2=12x$ ના બે ભિન્ન સામાન્ય સ્પર્શકો છે. ધારો કે સ્પર્શક $T_1$ એ $P$ અને $E$ ને અનુક્રમે $A_1$ અને $A_2$ બિંદુએ સ્પર્શે છે અને સ્પર્શક $T_2$ એ $P$ અને $E$ ને અનુક્રમે $A_4$ અને $A_3$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ ચતુષ્કોણ $A_1 A_2 A_3 A_4$ નું ક્ષેત્રફળ $35$ ચોરસ એકમ છે.
$(B)$ ચતુષ્કોણ $A_1 A_2 A_3 A_4$ નું ક્ષેત્રફળ $36$ ચોરસ એકમ છે.
$(C)$ સ્પર્શકો $T_1$ અને $T_2$ એ $x$-અક્ષને $(-3,0)$ બિંદુએ મળે છે.
$(D)$ સ્પર્શકો $T_1$ અને $T_2$ એ $x$-અક્ષને $(-6,0)$ બિંદુએ મળે છે.

જો $e_{1}$ અને $e_{2}$ અનુક્રમે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{4}=1$ અને અતિવલય $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,અને $(e_{1}, e_{2})$ એ ઉપવલય $15x^{2}+3y^{2}=k$ પરનું બિંદુ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

વક્રો ${y^2} = 8x$ અને $xy = -1$ ના સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ શું છે?

$PQ$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ ની દ્વિ-કોટિ (double ordinate) છે. $P$ અને $Q$ આગળના અભિલંબના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શું થાય?

એક ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ અને પરવલય $x^2 = 4(y + b)$ એવા છે કે ઉપવલયના બે નાભિઓ અને પરવલયના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ એક ચોરસના શિરોબિંદુઓ છે. ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.