વક્રો ${y^2} = 8x$ અને $xy = -1$ ના સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ શું છે?

ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ અને અતિવલય $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=\frac{1}{25}$ ના નાભિઓ એક જ છે. તો $b^2$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ અને $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1$ ના નાભિઓ એકરૂપ હોય,તો $a$ નું મૂલ્ય શોધો.

અતિવલય $xy = c^2$ ના કેન્દ્રમાંથી ચલ સ્પર્શક પર દોરેલા લંબના પાદનો બિંદુપથ શોધો:

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ અતિવલય $2x^2 - 2y^2 = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત છે. જો ઉપવલય અને અતિવલય એકબીજાને કાટખૂણે છેદે,તો ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈનો વર્ગ $................$ છે.

એક ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ એ અતિવલય $H: \frac{x^{2}}{49}-\frac{y^{2}}{64}=-1$ ના શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. ઉપવલય $E$ ની મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષો અતિવલય $H$ ની અનુપ્રસ્થ અને સંયુગ્મી અક્ષો સાથે સંપાતી છે. જો $E$ અને $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણાકાર $\frac{1}{2}$ હોય,અને $l$ એ ઉપવલય $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈ હોય,તો $113l$ ની કિંમત $....$ છે.