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Question

(C) अतिपरवलय $x^2 - y^2 \operatorname{cosec}^2 	heta = 5$ को $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{5 \sin^2 	heta} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसकी उत्के

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$\frac{\pi}{3}$

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(C) अतिपरवलय $x^2 - y^2 \operatorname{cosec}^2 	heta = 5$ को $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{5 \sin^2 	heta} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसकी उत्केंद्रता $e_h = \sqrt{1 + \sin^2 	heta}$ है। दीर्घवृत्त $x^2 \operatorname{cosec}^2 	heta + y^2 = 5$ को $\frac{x^2}{5 \sin^2 	heta} + \frac{y^2}{5} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसकी उत्केंद्रता $e_c = \sqrt{1 - \sin^2 	heta} = \cos 	heta$ है। दिया गया है कि $e_h = \sqrt{7} e_c$,इसलिए: $\sqrt{1 + \sin^2 	heta} = \sqrt{7} \cos 	heta$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 + \sin^2 	heta = 7 \cos^2 	heta = 7(1 - \sin^2 	heta)$. $8 \sin^2 	heta = 6 \Rightarrow \sin^2 	heta = \frac{3}{4}$. चूंकि $0 < 	heta < \pi / 2$,इसलिए $\sin 	heta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिसका अर्थ है $	heta = \frac{\pi}{3}$.

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दीर्घवृत्त $\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y + 2)^2}{4} = 1$ और वृत्त $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

यदि $e$ और $e^{\prime}$ क्रमशः दीर्घवृत्त $5x^2 + 9y^2 = 45$ और अतिपरवलय $5x^2 - 4y^2 = 45$ की उत्केंद्रताएँ हैं,तो $ee^{\prime}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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