अतिपरवलय x^2 - y^2 = a^2 की उन जीवाओं के मध्य | vedclass

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Question

(D) माना जीवा का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ के लिए मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $hx - ky = h^2 - k^2$ है।इसे $y = mx

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$a$ से स्वतंत्र है लेकिन $b$ पर निर्भर है।

Vedclass · Answer

(D) माना जीवा का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ के लिए मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $hx - ky = h^2 - k^2$ है।इसे $y = mx + c$ के रूप में लिखने पर,$y = \frac{h}{k}x - \frac{h^2 - k^2}{k}$ प्राप्त होता है।यह रेखा परवलय $x^2 = 4by$ की स्पर्श रेखा है,जिसके लिए शर्त $c = -bm^2$ है।यहाँ $m = \frac{h}{k}$ और $c = -\frac{h^2 - k^2}{k}$ है।अतः,$-\frac{h^2 - k^2}{k} = -b\left(\frac{h}{k}\right)^2$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,बिंदुपथ $y(x^2 - y^2) = bx^2$ है,जो $b$ पर निर्भर है लेकिन $a$ से स्वतंत्र है।

List-$I$	List-$II$
$(A)$ $\left[\frac{p}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right), \frac{q}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right]$	$(I)$ परवलय
$(B)$ $(p+q \cos \theta, r+q \sin \theta)$	$(II)$ वृत्त
$(C)$ $(p+\lambda^2, q-\lambda)$	$(III)$ दीर्घवृत्त
	$(IV)$ अतिपरवलय

अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ की उन जीवाओं के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ,जो परवलय $x^2 = 4by$ की स्पर्श रेखाएँ हैं,होगा -

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दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{3} = 1$ के बिंदु $\left( 2, \frac{3}{2} \right)$ पर अभिलंब एक परवलय को स्पर्श करता है,जिसका समीकरण है

$|x| + |y| = 1$ रेखा द्वारा निर्मित चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या है?

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