त्रिघातीय फलन $f(x) = 2x^3 + 9x^2 + 12x + 1$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य नहीं है?

यदि $f(x)=\sin \left(\cos ^{-1}\left(\frac{1-2^{2 x}}{1+2^{2 x}}\right)\right)$ है और $x =1$ पर $x$ के सापेक्ष इसका प्रथम अवकलज $-\frac{ b }{ a } \log _{ e } 2$ है,जहाँ $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,तो $\left| a ^{2}- b ^{2}\right|$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए.........

मान लीजिए $C$ वक्र $y = x^3$ है (जहाँ $x$ सभी वास्तविक मान लेता है)। $A(t, t^3)$ पर स्पर्श रेखा वक्र को पुनः $B(T, T^3)$ पर मिलती है। यदि $B$ पर प्रवणता (gradient),$A$ पर प्रवणता की $K$ गुना है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} -x-\frac{\pi}{2}, & x \leq-\frac{\pi}{2} \\ -\cos x, & -\frac{\pi}{2} < x \leq 0 \\ x-1, & 0 < x \leq 1 \\ \ln x, & x > 1 \end{cases}$,तो निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
$(A)$ $f(x)$,$x=-\frac{\pi}{2}$ पर सतत है
$(B)$ $f(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है
$(C)$ $f(x)$,$x=1$ पर अवकलनीय है
$(D)$ $f(x)$,$x=-\frac{3}{2}$ पर अवकलनीय है

वक्र $y \cot x = y^3 \tan x$ के लिए उस बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ भुज (abscissa) $\frac{\pi}{4}$ है:

$f(4)-f(3)$ का मान क्या है?