मान लीजिए $C$ वक्र $y = x^3$ है (जहाँ $x$ सभी वास्तविक मान लेता है)। $A(t, t^3)$ पर स्पर्श रेखा वक्र को पुनः $B(T, T^3)$ पर मिलती है। यदि $B$ पर प्रवणता (gradient),$A$ पर प्रवणता की $K$ गुना है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y = \log(\tan(x/2)) + \sin^{-1}(\cos x)$ है,तो $dy/dx$ है

मान लीजिए $f:R \to R$ एक सतत फलन है जो $f(x) = \frac{1}{e^x + 2e^{-x}}$ द्वारा परिभाषित है।
कथन-$1$: किसी $c \in R$ के लिए $f(c) = \frac{1}{3}$ है।
कथन-$2$: सभी $x \in R$ के लिए $0 < f(x) < \frac{1}{2\sqrt{2}}$ है।

यदि $f(x) = \begin{cases} -x-\frac{\pi}{2}, & x \leq-\frac{\pi}{2} \\ -\cos x, & -\frac{\pi}{2} < x \leq 0 \\ x-1, & 0 < x \leq 1 \\ \ln x, & x > 1 \end{cases}$,तो निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
$(A)$ $f(x)$,$x=-\frac{\pi}{2}$ पर सतत है
$(B)$ $f(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है
$(C)$ $f(x)$,$x=1$ पर अवकलनीय है
$(D)$ $f(x)$,$x=-\frac{3}{2}$ पर अवकलनीय है

मान लीजिए $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है, $f^{\prime}(x) > f(x)$ और $f(0) = 0$ है। तो

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक फलन है जो $f(x) = \begin{cases} 3(1 - \frac{|x|}{2}) & \text{यदि } |x| \leq 2 \\ 0 & \text{यदि } |x| > 2 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है। मान लीजिए $g: R \rightarrow R$ को $g(x) = f(x+2) - f(x-2)$ द्वारा दिया गया है। यदि $n$ और $m$ क्रमशः $R$ में उन बिंदुओं की संख्या को दर्शाते हैं जहाँ $g$ असंतत और अवकलनीय नहीं है,तो $n+m$ का मान $....$ है।