अंतराल $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ पर परिभाषित फलन $f(x)=(x-1)(x-2)$ के लिए,लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को संतुष्ट करने वाला $c$ का मान है

अंतराल $[2, 4]$ में फलन $f(x) = x^{2}$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में $C$ का मान है:

यदि समीकरण $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x = 0$ का एक धनात्मक मूल $x = \alpha$ है,तो समीकरण $na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1 = 0$ के धनात्मक मूल के बारे में क्या कहा जा सकता है?

निम्नलिखित फलनों के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) की प्रयोज्यता की जाँच कीजिए:
$(i)$ $f(x) = [x]$,$x \in [5, 9]$ के लिए
$(ii)$ $f(x) = [x]$,$x \in [-2, 2]$ के लिए
$(iii)$ $f(x) = x^{2} - 1$,$x \in [1, 2]$ के लिए

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक दो बार सतत अवकलनीय फलन है। मान लीजिए $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$ है। तो,

अंतराल $[1, 3]$ में फलन $f(x) = x^{3} - 5x^{2} - 3x$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को सत्यापित कीजिए। सभी $c \in (1, 3)$ ज्ञात कीजिए जिनके लिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$ हो।