आव्यूहों $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} -29 & 49 \\ -13 & 18 \end{bmatrix}$ के लिए, यदि $(A^{15}+B)\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए $A$ वास्तविक प्रविष्टियों वाला एक $2 \times 2$ आव्यूह है,जहाँ $A^{T} = \alpha A + I$,और $\alpha \in R - \{-1, 1\}$ है। यदि $\det(A^2 - A) = 4$ है,तो $\alpha$ के सभी संभावित मानों का योग क्या है?

$\theta = 0$ और $\theta = \pi / 2$ के बीच स्थित $\theta$ का मान जो समीकरण : $\left| \begin{array}{ccc} 1 + \sin^2 \theta & \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin^2 \theta & 1 + \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin^2 \theta & \cos^2 \theta & 1 + 4 \sin 4 \theta \end{array} \right| = 0$ को संतुष्ट करता है,वह है :

मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} 0 & -\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix}$,जहाँ $\alpha$ एक शून्येतर वास्तविक संख्या है और $N = \sum_{k=1}^{49} M^{2k}$ है। यदि $(I - M^2)N = -2I$ है,तो $\alpha$ का धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S =\{ M = [a_{ij}], a_{ij} \in \{0,1,2\}, 1 \leq i, j \leq 2\}$ एक प्रतिदर्श समष्टि है और $A = \{M \in S : M \text{ व्युत्क्रमणीय है}\}$ एक घटना है। तो $P(A)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = (a_{ij})$ एक $n \times n$ आव्यूह है जिसे $a_{ij} = \begin{cases} k^i, & \forall i=j \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। यदि $m = \text{trace of } A$ और $\lim_{k \rightarrow 1} \frac{n-m}{1-k} = 171$ है, तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए: