मान लीजिए A वास्तविक प्रविष्टियों वाला एक 2 t | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $A^{T} = \alpha A + I$। दोनों पक्षों का परिवर्त लेने पर,$A = \alpha A^{T} + I$। दूसरे समीकरण में $A^{T}$ का मान रखने पर: $A = \alpha(\

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$\frac{5}{2}$

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(C) दिया गया है $A^{T} = \alpha A + I$। दोनों पक्षों का परिवर्त लेने पर,$A = \alpha A^{T} + I$। दूसरे समीकरण में $A^{T}$ का मान रखने पर: $A = \alpha(\alpha A + I) + I = \alpha^2 A + (\alpha + 1)I$। पुनर्व्यवस्थित करने पर $A(1 - \alpha^2) = (\alpha + 1)I$ प्राप्त होता है। चूंकि $\alpha 
eq -1$,$(1 + \alpha)$ से विभाजित करने पर $A(1 - \alpha) = I$ मिलता है,इसलिए $A = \frac{1}{1 - \alpha}I$। अतः $\det(A) = \frac{1}{(1 - \alpha)^2}$। साथ ही,$A - I = \frac{1}{1 - \alpha}I - I = \frac{1 - (1 - \alpha)}{1 - \alpha}I = \frac{\alpha}{1 - \alpha}I$। अतः $\det(A - I) = \left(\frac{\alpha}{1 - \alpha}ight)^2$। दिया गया है $\det(A^2 - A) = \det(A)\det(A - I) = 4$। मान रखने पर: $\frac{1}{(1 - \alpha)^2} \cdot \frac{\alpha^2}{(1 - \alpha)^2} = 4$। $\frac{\alpha^2}{(1 - \alpha)^4} = 4 \Rightarrow \left(\frac{\alpha}{(1 - \alpha)^2}ight)^2 = 2^2$। इसका अर्थ है $\frac{\alpha}{(1 - \alpha)^2} = 2$ या $\frac{\alpha}{(1 - \alpha)^2} = -2$। स्थिति $1$: $\alpha = 2(1 - 2\alpha + \alpha^2) \Rightarrow 2\alpha^2 - 5\alpha + 2 = 0$। हल $\alpha = 2$ और $\alpha = 1/2$ हैं। स्थिति $2$: $\alpha = -2(1 - 2\alpha + \alpha^2) \Rightarrow 2\alpha^2 - 3\alpha + 2 = 0$। विविक्तकर $D = 9 - 16 = -7 $\alpha$ के संभावित मान $2$ और $1/2$ हैं। योग $2 + 1/2 = 5/2$ है।

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