यदि $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ है,तो सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} 1 & \alpha & \alpha^2 \\ \alpha^2 & 1 & \alpha \\ \alpha & \alpha^2 & 1 \end{array} \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

स्तंभ $I$ में दिए गए कथनों को स्तंभ $II$ में दिए गए अंतरालों/अंतरालों के संघ के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ समुच्चय $\{\operatorname{Re}(\frac{2 i z}{1-z^2}): |z|=1, z \neq \pm 1\}$ है	$(p)$ $(-\infty,-1) \cup(1, \infty)$
$(B)$ $f(x)=\sin ^{-1}(\frac{8(3)^{x-2}}{1-3^{2(x-1)}})$ का प्रांत है	$(q)$ $(-\infty, 0) \cup(0, \infty)$
$(C)$ यदि $f(\theta)=\left|\begin{array}{ccc}1 & \tan \theta & 1 \\ -\tan \theta & 1 & \tan \theta \\ -1 & -\tan \theta & 1\end{array}\right|$,तो समुच्चय $\{f(\theta): 0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}\}$ है	$(r)$ $[2, \infty)$
$(D)$ यदि $f(x)=x^{3 / 2}(3 x-10), x \geq 0$,तो $f(x)$ किस अंतराल में वर्धमान है	$(s)$ $(-\infty,-1] \cup[1, \infty)$
	$(t)$ $(-\infty, 0] \cup[2, \infty)$

मान लीजिए $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $P = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ है। मान लीजिए $Q = \begin{bmatrix} x & y \\ z & 4 \end{bmatrix}$ कुछ शून्येतर वास्तविक संख्याओं $x, y$,और $z$ के लिए है,जिसके लिए एक $2 \times 2$ आव्यूह $R$ मौजूद है जिसके सभी अवयव शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं,ताकि $QR = RP$ हो। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

यदि $A+B=\left[\begin{array}{cr}1 & \tan \frac{\theta}{2} \\ -\tan \frac{\theta}{2} & 1\end{array}\right]$ जहाँ $A$ एक सममित आव्यूह है और $B$ एक विषम-सममित आव्यूह है,तो $\theta=\frac{\pi}{6}$ पर आव्यूह $\left(A^{-1} B+A B^{-1}\right)$ क्या होगा?

मान लीजिए $a = \lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{\ln x} - \frac{1}{x \ln x} \right)$,$b = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 16x}{4x + x^2}$,$c = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + \sin x)}{x}$,और $d = \lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)^3}{3(\sin(x + 1) - (x + 1))}$. तो आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ है: