मान लीजिए कि सदिश $x_{1}, x_{2}$ और $x_{3}$ रैखिक समीकरणों के निकाय $Ax = b$ के हल हैं,जब दाईं ओर का सदिश $b$ क्रमशः $b_{1}, b_{2}$ और $b_{3}$ के बराबर है। यदि $x_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, x_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, x_{3} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, b_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, b_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$ और $b_{3} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$ है,तो $A$ का सारणिक किसके बराबर है?

माना कि $X = \left\{\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} : a, b, c, d \in \mathbb{R} \right\}$ है। फलन $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ को $f(A) = \operatorname{det}(A), \forall A \in X$ द्वारा परिभाषित करें। तब, $f$ है

किसी भी $3 \times 3$ आव्यूह $M$ के लिए,$| M |$,$M$ का सारणिक दर्शाता है। मान लीजिए $E=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & 13 & 18 \end{bmatrix}$,$P=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ और $F=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 8 & 18 & 13 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix}$ है। यदि $Q$ कोटि $3 \times 3$ का एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ $F = PEP$ और $P^2 = I$
$(B)$ $| EQ + PFQ^{-1} | = | EQ | + | PFQ^{-1} |$
$(C)$ $|(EF)^3| > |EF|^2$
$(D)$ $P^{-1}EP + F$ के विकर्ण अवयवों का योग $E + P^{-1}FP$ के विकर्ण अवयवों के योग के बराबर है।

मान लीजिए $A=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $P=\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}, \theta > 0$ है। यदि $B=P A P^T$,$C=P^T B^{10} P$ है और $C$ के विकर्ण तत्वों का योग $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $\operatorname{gcd}(m, n)=1$,तो $m+n$ का मान है:

यदि $a_{r} = \cos \frac{2 r \pi}{9} + i \sin \frac{2 r \pi}{9}$,$r = 1, 2, 3, \ldots$,$i = \sqrt{-1}$ है,तो सारणिक $\left|\begin{array}{lll}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{4} & a_{5} & a_{6} \\ a_{7} & a_{8} & a_{9}\end{array}\right|$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{bmatrix}$,जहाँ $x, y$ और $z$ वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $x + y + z > 0$ और $xyz = 2$ है। यदि $A^2 = I_3$ है,तो $x^3 + y^3 + z^3$ का मान ............ है।