નીચેનામાંથી કયા વક્ર માટે રેખા $x+\sqrt{3} y=2 \sqrt{3}$ એ બિંદુ $\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ આગળ સ્પર્શક છે?

ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ ના બે નાભિઓમાંથી ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શક પરના લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર કેટલો થાય?

ઉપવલય $25x^2 + 16y^2 - 150x - 175 = 0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

ધારો કે $P$ એ $(2,3)$ શિરોબિંદુ અને $2x+y=6$ નિયામિકા ધરાવતું પરવલય છે. ધારો કે એક ઉપવલય $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b$ જેની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે,તે પરવલય $P$ ના નાભિમાંથી પસાર થાય છે. તો $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈનો વર્ગ શોધો.

વક્ર $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના બિંદુ $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ આગળ સ્પર્શક અને અભિલંબ દ્વારા $X$-અક્ષ સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ધારો કે $p$ એ $n$ બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણ $P$ ના શિરોબિંદુઓને જોડીને બનાવી શકાતા તમામ ત્રિકોણોની સંખ્યા છે અને $q$ એ $P$ ના શિરોબિંદુઓને જોડીને બનાવી શકાતા તમામ ચતુષ્કોણની સંખ્યા છે. જો $p+q=126$ હોય,તો ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{n}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?