$\lambda$ के किन मानों के लिए,रैखिक समीकरण युग्म $\lambda x + y = \lambda^2$ और $x + \lambda y = 1$ के:
$(i)$ कोई हल नहीं है?
$(ii)$ अपरिमित रूप से अनेक हल हैं?
$(iii)$ एक अद्वितीय हल है?

(A) दिए गए रैखिक समीकरण युग्म $\lambda x + y = \lambda^2$ और $x + \lambda y = 1$ हैं।
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर,$a_1 = \lambda, b_1 = 1, c_1 = -\lambda^2$ और $a_2 = 1, b_2 = \lambda, c_2 = -1$ प्राप्त होते हैं।
$(i)$ कोई हल न होने के लिए,शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है।
$\frac{\lambda}{1} = \frac{1}{\lambda} \neq \frac{-\lambda^2}{-1} \Rightarrow \lambda^2 = 1$ और $\lambda^2 \neq 1$। $\lambda = 1$ के लिए यह संभव नहीं है। $\lambda = -1$ के लिए,$\frac{-1}{1} = \frac{1}{-1} \neq \frac{-(-1)^2}{-1} \Rightarrow -1 = -1 \neq 1$। अतः,$\lambda = -1$ के लिए कोई हल नहीं है।
$(ii)$ अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए,शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
$\frac{\lambda}{1} = \frac{1}{\lambda} = \frac{-\lambda^2}{-1} \Rightarrow \lambda^2 = 1$ और $\lambda = \lambda^3$। यह $\lambda = 1$ के लिए सत्य है।
$(iii)$ अद्वितीय हल के लिए,शर्त $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है।
$\frac{\lambda}{1} \neq \frac{1}{\lambda} \Rightarrow \lambda^2 \neq 1 \Rightarrow \lambda \neq \pm 1$। अतः,$\pm 1$ को छोड़कर $\lambda$ के सभी वास्तविक मानों के लिए अद्वितीय हल प्राप्त होता है।