निम्नलिखित समस्या के लिए रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और प्रतिस्थापन विधि (substitution method) द्वारा उनका हल ज्ञात कीजिए।
यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में $2$ जोड़ दिया जाए,तो वह $\frac{9}{11}$ हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में $3$ जोड़ दिया जाए,तो वह $\frac{5}{6}$ हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।

(A) माना कि भिन्न का अंश $x$ है और हर $y$ है। अतः भिन्न $\frac{x}{y}$ है।
प्रथम शर्त के अनुसार: $\frac{x+2}{y+2} = \frac{9}{11}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $11(x+2) = 9(y+2) \implies 11x + 22 = 9y + 18 \implies 11x - 9y = -4$ (समीकरण $1$).
दूसरी शर्त के अनुसार: $\frac{x+3}{y+3} = \frac{5}{6}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $6(x+3) = 5(y+3) \implies 6x + 18 = 5y + 15 \implies 6x - 5y = -3$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ से,$5y = 6x + 3 \implies y = \frac{6x+3}{5}$.
इस मान को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $11x - 9(\frac{6x+3}{5}) = -4$.
$5$ से गुणा करने पर: $55x - 9(6x+3) = -20 \implies 55x - 54x - 27 = -20 \implies x = 7$.
अब,$y$ का मान ज्ञात करें: $y = \frac{6(7)+3}{5} = \frac{42+3}{5} = \frac{45}{5} = 9$.
अतः,अभीष्ट भिन्न $\frac{7}{9}$ है।