$6$ અલગ-અલગ નવલકથાઓ અને $3$ અલગ-અલગ શબ્દકોશોમાંથી,$4$ નવલકથાઓ અને $1$ શબ્દકોશ પસંદ કરીને એક શેલ્ફ પર હારમાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે જેથી શબ્દકોશ હંમેશા વચ્ચે રહે. આવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $n \geq 3$ એક પૂર્ણાંક છે. $(1, 2, \ldots, n)$ ના ક્રમચય $\sigma = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ માટે,આપણે $f_\sigma(x) = a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_2 x + a_1$ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. ધારો કે $S_\sigma$ એ $f_\sigma(x) = 0$ ના બીજનો સરવાળો છે અને $S$ એ $(1, 2, \ldots, n)$ ના તમામ ક્રમચયો $\sigma$ પર $S_\sigma$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો દર્શાવે છે. તો,

$10000$ કરતા નાની એવી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ કેટલી છે જેમાં અંક $5$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે છે?

$15$ સફરજનને ત્રણ વ્યક્તિઓ $A, B, C$ વચ્ચે એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી $A$ અને $C$ દરેકને ઓછામાં ઓછા $2$ સફરજન મળે અને $B$ ને વધુમાં વધુ $5$ સફરજન મળે.

એક ટ્રેન રૂટ પર $15$ સ્ટેશન છે અને ટ્રેનને આ $15$ સ્ટેશનમાંથી બરાબર $5$ સ્ટેશન પર રોકવાની છે. જો તે ઓછામાં ઓછા બે ક્રમિક સ્ટેશન પર રોકાય,તો ટ્રેન કેટલી રીતે રોકી શકાય?

$ASSASSIN$ શબ્દના અક્ષરોને યાદચ્છિક રીતે એક હરોળમાં ગોઠવવામાં આવે છે. કોઈ પણ બે $S$ સાથે ન આવે તેની સંભાવના કેટલી?