$10000$ કરતા નાની એવી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ કેટલી છે જેમાં અંક $5$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે છે?

$11$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાંથી જો ત્રણ સંખ્યાઓ યાદચ્છિક રીતે (પુનરાવર્તન વગર) પસંદ કરવામાં આવે,તો તે ધન સામાન્ય તફાવત સાથે $A.P.$ માં હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

ધારો કે $0 \leq r \leq n$. જો ${ }^{n+1} C_{r+1} : { }^{n} C_{r} : { }^{n-1} C_{r-1} = 55 : 35 : 21$ હોય,તો $2n + 5r$ ની કિંમત શોધો:

એક ભાષાકીય ક્લબમાં $6$ છોકરીઓ અને $4$ છોકરાઓ છે. આ જૂથમાંથી $4$ સભ્યોની એક ટીમ પસંદ કરવાની છે,જેમાં ટીમના નેતાની પસંદગી (આ $4$ સભ્યોમાંથી) પણ સામેલ છે. જો ટીમમાં વધુમાં વધુ એક છોકરો હોય,તો ટીમ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $S$ એ તમામ પાસવર્ડ્સનો સેટ છે જે $6$ થી $8$ અક્ષરો લાંબા છે,જ્યાં દરેક અક્ષર કાં તો $\{A, B, C, D, E\}$ માંથી મૂળાક્ષર છે અથવા $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ માંથી સંખ્યા છે,જેમાં અક્ષરોનું પુનરાવર્તન માન્ય છે. જો $S$ માં એવા પાસવર્ડ્સની સંખ્યા કે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ માંથી સંખ્યા હોય તે $\alpha \times 5^{6}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત $.......$ છે.

$0$ થી $9$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને અને અંકોનું પુનરાવર્તન કર્યા વગર $9$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી આઠ અંકની સંખ્યા બનાવવાની છે. આ કેટલી રીતે કરી શકાય?