फलन f(x) = frac{lambda sin x + 6 cos x}{2 sin | vedclass

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Question

(D) फलन $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए। भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करने पर: $f'(x

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$\lambda > 4$

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(D) फलन $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए। भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करने पर: $f'(x) = \frac{(\lambda \cos x - 6 \sin x)(2 \sin x + 3 \cos x) - (\lambda \sin x + 6 \cos x)(2 \cos x - 3 \sin x)}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2} > 0$. अंश का विस्तार करने पर: $(2\lambda \sin x \cos x + 3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x - 18 \sin x \cos x) - (2\lambda \sin x \cos x - 3\lambda \sin^2 x + 12 \cos^2 x - 18 \sin x \cos x) > 0$. पदों को सरल करने पर: $3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x + 3\lambda \sin^2 x - 12 \cos^2 x > 0$. $3\lambda(\sin^2 x + \cos^2 x) - 12(\sin^2 x + \cos^2 x) > 0$. चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए: $3\lambda - 12 > 0$. $3\lambda > 12$. $\lambda > 4$.

फलन $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 6 \cos x}{2 \sin x + 3 \cos x}$ वर्धमान फलन है,यदि:

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माना $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{d - x}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}$,$x \in R$,जहाँ $a, b$ और $d$ शून्येतर वास्तविक स्थिरांक हैं। तो:

मान लीजिए $g(x) = 2f(x/2) + f(1 - x)$ और $0 \le x \le 1$ के लिए $f''(x) < 0$ है। तो $g(x)$:

यदि $x$ अंतराल $(0, \pi/2)$ में स्थित है,तो फलन $f(x) = x \sin x + \cos x + \cos^2 x$ है:

मान लीजिए $g(x) = 2f(\frac{x}{2}) + f(2 - x)$ और $f''(x) < 0$ सभी $x \in (0, 2)$ के लिए है। तो $g(x)$ किस अंतराल में वर्धमान है?

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