अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{x+y+1}{x+y-1} | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$ है।माना $x+y = t$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,ज

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$y = x + \log |x+y| + c$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$ है।माना $x+y = t$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$ प्राप्त होता है।इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{dt}{dx} - 1 = \frac{t+1}{t-1}$$\frac{dt}{dx} = \frac{t+1}{t-1} + 1 = \frac{t+1+t-1}{t-1} = \frac{2t}{t-1}$.चरों को अलग करने पर,$\left(\frac{t-1}{2t}\right) dt = dx$ प्राप्त होता है।इसे सरल करने पर $\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2t}\right) dt = dx$ मिलता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2t}\right) dt = \int dx$$\frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \log |t| = x + C_1$.$2$ से गुणा करने पर:$t - \log |t| = 2x + 2C_1$.$t = x+y$ वापस रखने पर:$(x+y) - \log |x+y| = 2x + C$ (जहाँ $C = 2C_1$ है)।$y - x = \log |x+y| + C$,जिसे $y = x + \log |x+y| + C$ के रूप में लिखा जा सकता है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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