अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{x+y+1}{x+y-1} | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$.माना $u = x+y$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}$,जि

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$y = x + \log(x+y) + c$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$.माना $u = x+y$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 1$.इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{du}{dx} - 1 = \frac{u+1}{u-1}$$\frac{du}{dx} = \frac{u+1}{u-1} + 1 = \frac{u+1+u-1}{u-1} = \frac{2u}{u-1}$.चरों को पृथक करने पर:$\left(\frac{u-1}{u}\right) du = 2 dx$$(1 - \frac{1}{u}) du = 2 dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int (1 - \frac{1}{u}) du = \int 2 dx$$u - \log|u| = 2x + c$.$u = x+y$ वापस रखने पर:$(x+y) - \log|x+y| = 2x + c$$y - x = \log|x+y| + c$ या $y = x + \log|x+y| + c$.

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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