यदि $f(x) = \frac{ax + b}{x + 1}$,$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 1$ और $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 2$ है,तो $f(-2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $\tan (2\pi |\sin \theta |) = \cot (2\pi |\cos \theta |)$,जहाँ $\theta \in R$ और $f(x) = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$ है। $\lim_{x \to \infty} [\frac{2}{f(x)}]$ का मान ज्ञात कीजिए (यहाँ $[\,]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)।

यदि $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{{{(2x - 1)}^2}}} = \frac{1}{2}$ है,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - a)(x - b)(x - c)}}{{x - 2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$t > -1$ के लिए,मान लीजिए कि $\alpha_t$ और $\beta_t$ समीकरण $\left((t+2)^{\frac{1}{7}}-1\right) x^2+\left((t+2)^{\frac{1}{6}}-1\right) x+\left((t+2)^{\frac{1}{21}}-1\right)=0$ के मूल हैं। यदि $\lim _{t \rightarrow -1^{+}} \alpha_t$ और $\lim _{t \rightarrow -1^{+}} \beta_t$ सीमांत समीकरण के मूल हैं,और $a+b$ इन मूलों का योग है,तो $72(a+b)^2$ का मान . . . . . . है।

अचर $\alpha$ और $\beta$ के मान ज्ञात कीजिए ताकि $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x + 1} - \alpha x - \beta \right) = 0$ हो।

यदि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha e^{x}+\beta e^{-x}+\gamma \sin x}{x \sin ^{2} x}=\frac{2}{3}$,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma \in R$,तो निम्नलिखित में से कौन सा सही $NOT$ है?