दिया गया है f(x) = b ([x]^2 + [x]) + 1 जहाँ x | vedclass

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Question

(A) फलन के $x = -1$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$,दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$,और $x = -1$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।सबसे पहले,$x = -1$

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$a = 2n + (3/2) ; b \in R ; n \in I$

Vedclass · Answer

(A) फलन के $x = -1$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$,दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$,और $x = -1$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।सबसे पहले,$x = -1$ पर फलन का मान ज्ञात करें:$f(-1) = b([-1]^2 + [-1]) + 1 = b(1 - 1) + 1 = 1$.इसके बाद,$x 	o -1^+$ के लिए दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ ज्ञात करें:$\lim_{x 	o -1^+} f(x) = \lim_{h 	o 0} b([-1+h]^2 + [-1+h]) + 1 = b((-1)^2 + (-1)) + 1 = b(1-1) + 1 = 1$.अब,$x 	o -1^-$ के लिए बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ ज्ञात करें:$\lim_{x 	o -1^-} f(x) = \lim_{h 	o 0} \sin(\pi(-1-h+a)) = \sin(\pi(a-1))$.सांतत्य के लिए,$LHL$ = $RHL$ = $f(-1)$,इसलिए $\sin(\pi(a-1)) = 1$.इसका अर्थ है कि $\pi(a-1) = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ जहाँ $n \in I$ कोई पूर्णांक है।$\pi$ से विभाजित करने पर,हमें $a - 1 = 2n + \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $a = 2n + \frac{3}{2}$ हो जाता है।चूंकि $b$ का $x = -1$ पर सीमा पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है (क्योंकि $RHL$ $b$ से स्वतंत्र है),इसलिए $b$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है $(b \in R)$.

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यदि $f(x) = \frac{1 - \sin x + \cos x}{1 + \sin x + \cos x}$,$x \neq \pi$ के लिए $x = \pi$ पर सतत है,तो $f(\pi)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \frac{4^{x-\pi} + 4^{\pi-x} - 2}{(x-\pi)^2}$ जहाँ $x \neq \pi$,$x = \pi$ पर सतत है,तो $f(\pi) = k$ है। $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$a$ का वह मान जिसके लिए फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos 4 x}{x^2}, & x < 0 \\ a, & x=0 \\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}, & x>0 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है, है

यदि $f(x) = \begin{cases} x - 1, & x < 0 \\ \frac{1}{4}, & x = 0 \\ x^2, & x > 0 \end{cases}$ है,तो

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