જો $a^2 + 2a + \csc^2 \left( \frac{\pi}{2}(a + x) \right) = 0$ આપેલ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

જો $\sin \theta = \frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} \right)$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R} - \{0\}$. તો:

ધારો કે $x, y$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $m, n$ ધન પૂર્ણાંકો છે. પદાવલિ $\frac{x^m y^n}{(1 + x^{2m})(1 + y^{2n})}$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

ધારો કે $M$ અને $m$ અનુક્રમે $[f(\theta)]^2$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો દર્શાવે છે,જ્યાં $f(\theta)=\sqrt{a^2 \cos^2 \theta+b^2 \sin^2 \theta} + \sqrt{a^2 \sin^2 \theta+b^2 \cos^2 \theta}$. તો $M-m=$

ધારો કે $a = \max_{x \in R} \{8^{2 \sin 3x} \cdot 4^{4 \cos 3x}\}$ અને $\beta = \min_{x \in R} \{8^{2 \sin 3x} \cdot 4^{4 \cos 3x}\}$. જો $8x^2 + bx + c = 0$ એ એક દ્વિઘાત સમીકરણ હોય જેના બીજ $\alpha^{1/5}$ અને $\beta^{1/5}$ હોય,તો $c - b$ ની કિંમત શોધો.

ત્રિકોણ $ABC$ માં,જો $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$ હોય,તો $\sin A + \sin B + \sin C =$