अंकों $1, 2, 3, 4, 5$ का उपयोग करके $24000$ से बड़ी कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि किसी भी अंक की पुनरावृत्ति न हो?

सभी त्रिभुजों $OPQ$ के समुच्चय पर विचार करें जहाँ $O$ मूलबिंदु है और $P$,$Q$ समतल में गैर-ऋणात्मक पूर्णांक निर्देशांक $(x, y)$ वाले भिन्न बिंदु हैं,ताकि $5x + y = 99$ हो। ऐसे भिन्न त्रिभुजों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनका क्षेत्रफल एक धनात्मक पूर्णांक है।

मान लीजिए $A = \{a_1, a_2, a_3, ..., a_n\}$ एक समुच्चय है जिसमें $n$ अवयव हैं। इसके दो उपसमुच्चय $P$ और $Q$ स्वतंत्र रूप से बनाए जाते हैं। इन उपसमुच्चयों को बनाने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $(P - Q)$ में ठीक $2$ अवयव हों:

$25$ सेबों को $4$ लड़कों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक लड़के को कम से कम $4$ सेब मिलें:

अंकों $4, 5, 6, 7, 8$ को हर संभव क्रम में लिखा गया है। $56000$ से बड़ी संख्याओं की संख्या है

एक सूटकेस के नंबर लॉक में $3$ पहिए हैं,जिनमें से प्रत्येक पर $0$ से $9$ तक के $10$ अंक अंकित हैं। यदि लॉक खोलने के लिए $3$ अंकों के एक विशिष्ट अनुक्रम की आवश्यकता है जिसमें कोई पुनरावृत्ति नहीं है,तो ऐसे कितने अनुक्रम संभव हैं?