$2, 3, 0, 3, 4, 2, 3$ अंकों का उपयोग करके एक मिलियन (दस लाख) से बड़ी कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

एक निश्चित परीक्षा में $n$ प्रश्न हैं। परीक्षा में $2^{n-i}$ छात्रों ने कम से कम $i$ प्रश्नों के गलत उत्तर दिए,जहाँ $i = 1, 2, \dots, n$ है। यदि दिए गए गलत उत्तरों की कुल संख्या $2047$ है,तो $n$ का मान क्या है?

जब एक स्कूल के सभी छात्रों को $54$ की पंक्तियों में खड़ा किया जाता है,तो ऐसी $30$ पंक्तियाँ बनती हैं। यदि छात्रों को $45$ की पंक्तियों में खड़ा किया जाए,तो ऐसी कितनी पंक्तियाँ बनेंगी?

अंकों $3, 4, 5, 6$ का उपयोग करके $100$ से बड़ी और $5$ से विभाज्य कुल कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि किसी भी अंक की पुनरावृत्ति न हो?

$^{69}C_{3r-1} - ^{69}C_{r^2} = ^{69}C_{r^2-1} - ^{69}C_{3r}$ को संतुष्ट करने वाले $r$ के मानों की संख्या है:

मान लीजिए कि एक गोलाकार स्टेडियम की सीमा पर समान ऊंचाई के $20$ स्तंभ खड़े किए गए हैं। यदि प्रत्येक स्तंभ के शीर्ष को उसके सभी गैर-आसन्न (non-adjacent) स्तंभों के शीर्ष से बीम द्वारा जोड़ा जाता है,तो बीम की कुल संख्या क्या है?