જો $f(x) = x(x-1)(x-2)$ માટે અંતરાલ $x \in [0, 1/2]$ પર $L.M.V.T.$ સત્ય હોય,તો $C$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x)=|x-2|, x \in[0,4]$ હોય,તો આ વિધેય માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડી શકાતું નથી કારણ કે

આપેલ છે કે $f(x)$ એ $a \le x \le b$ પર સતત વિકલનીય છે જ્યાં $a < b, f(a) < 0$ અને $f(b) > 0$,તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો હંમેશા સાચા છે?
$(i)$ $f(x)$ એ $a \le x \le b$ પર સીમિત (bounded) છે.
$(ii)$ સમીકરણ $f(x) = 0$ ને $a < x < b$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે.
$(iii)$ $f(x)$ ની $a \le x \le b$ પર મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો એવા બિંદુઓ પર મળે છે જ્યાં $f'(c) = 0$ હોય.
$(iv)$ $a < c < b$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c$ એવું છે જ્યાં $f'(c) > 0$ હોય.
$(v)$ $a < d < b$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $d$ એવું છે જ્યાં $f'(d) < 0$ હોય.

ધારો કે $f:[1,3] \rightarrow R$ એ $[1,3]$ પર સતત અને $(1,3)$ પર વિકલનીય છે, જ્યાં $f^{\prime}(x)=[f(x)]^2+4$ દરેક $x \in (1,3)$ માટે છે. તો:

ધારો કે $f(1) = -2$ અને $1 \le x \le 6$ માટે $f'(x) \ge 4.2$ છે. $f(6)$ ની શક્ય કિંમત કયા અંતરાલમાં આવે છે?

જો વિધેય $f(x)=a x^3+b x^2+11 x-6$ એ $[1,3]$ માં રોલના પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરે છે અને $f^{\prime}\left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0$ હોય,તો $a+b=$