यदि y=y(x) अवकल समीकरण e^{y}left(frac{dy}{dx} | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{y}\left(\frac{dy}{dx}-1\right)=e^{x}$ है।इसे $e^{y} \frac{dy}{dx} - e^{y} = e^{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।माना $e^{y

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$1+\log _{e} 2$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{y}\left(\frac{dy}{dx}-1\right)=e^{x}$ है।इसे $e^{y} \frac{dy}{dx} - e^{y} = e^{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।माना $e^{y} = t$ है। अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$e^{y} \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$ प्राप्त होता है।इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dt}{dx} - t = e^{x}$।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।दोनों पक्षों को $I$.$F$. से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}(t e^{-x}) = e^{x} \cdot e^{-x} = 1$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$t e^{-x} = x + c$ प्राप्त होता है।$t = e^{y}$ प्रतिस्थापित करने पर,$e^{y} e^{-x} = x + c$,अर्थात $e^{y-x} = x + c$ प्राप्त होता है।चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर: $e^{0-0} = 0 + c \Rightarrow 1 = c$।अतः,हल $e^{y-x} = x + 1$ है।$y(1)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 1$ रखने पर: $e^{y-1} = 1 + 1 = 2$।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$y - 1 = \log_{e} 2$ प्राप्त होता है।अतः,$y(1) = 1 + \log_{e} 2$।

सूची $I$ (अवकल समीकरण)	सूची $II$ (समाकलन गुणक)
$(P)$ $(x^3+1)\frac{dy}{dx}+x^2y=3x^2$	$(1)$ $x^3$
$(Q)$ $x^2\frac{dy}{dx}+3xy=x^6$	$(2)$ $(x^3+1)^2$
$(R)$ $(x^3+1)^2\frac{dy}{dx}+6x^2(x^3+1)y=x^2$	$(3)$ $(x^2+1)^2$
$(S)$ $(x^2+1)\frac{dy}{dx}+4xy=\ln x$	$(4)$ $x^2+1$
	$(5)$ $(x^3+1)^{1/3}$
	$(6)$ $(x^3+1)^{1/2}$

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $e^{y}\left(\frac{dy}{dx}-1\right)=e^{x}$ का हल है,जहाँ $y(0)=0,$ तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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