यदि $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ क्रमशः प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं,उनके वर्गों और उनके घनों का योग हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $9 S_{2}^{2} = S_{3}(1 + 8 S_{1})$।

(N/A) दी गई जानकारी के अनुसार:
$S_{1} = \frac{n(n+1)}{2}$
$S_{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$S_{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$
दायां पक्ष $(RHS)$ लेने पर: $S_{3}(1 + 8 S_{1})$
$= \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} \left(1 + 8 \cdot \frac{n(n+1)}{2}\right)$
$= \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} (1 + 4n^{2} + 4n)$
$= \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} (2n+1)^{2}$
$= \frac{[n(n+1)(2n+1)]^{2}}{4} \quad \dots (1)$
बायां पक्ष $(LHS)$ लेने पर: $9 S_{2}^{2}$
$= 9 \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right)^{2}$
$= \frac{9}{36} [n(n+1)(2n+1)]^{2}$
$= \frac{[n(n+1)(2n+1)]^{2}}{4} \quad \dots (2)$
अतः,$(1)$ और $(2)$ से,$9 S_{2}^{2} = S_{3}(1 + 8 S_{1})$ सिद्ध होता है।