यदि a_1, a_2, dots, a_n सार्व अंतर d के साथ A | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $a_1, a_2, \dots, a_n$ सार्व अंतर $d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \dots = a_n - a_{n-1}$ के साथ $A.P.$ में हैं।दी गई श्रेणी $S = \sin

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$\cot a_1 - \cot a_n$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि $a_1, a_2, \dots, a_n$ सार्व अंतर $d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \dots = a_n - a_{n-1}$ के साथ $A.P.$ में हैं।दी गई श्रेणी $S = \sin d (\csc a_1 \csc a_2 + \csc a_2 \csc a_3 + \dots + \csc a_{n-1} \csc a_n)$ है।हम $\sin d = \sin(a_{k+1} - a_k)$ लिख सकते हैं।अतः,सामान्य पद $\frac{\sin(a_{k+1} - a_k)}{\sin a_k \sin a_{k+1}} = \frac{\sin a_{k+1} \cos a_k - \cos a_{k+1} \sin a_k}{\sin a_k \sin a_{k+1}} = \cot a_k - \cot a_{k+1}$ है।इस मान को योग में रखने पर:$S = (\cot a_1 - \cot a_2) + (\cot a_2 - \cot a_3) + \dots + (\cot a_{n-1} - \cot a_n)$.यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे:$S = \cot a_1 - \cot a_n$.

यदि $a_1, a_2, \dots, a_n$ सार्व अंतर $d$ के साथ $A.P.$ में हैं,तो निम्नलिखित श्रेणी का योग $\sin d (\csc a_1 \csc a_2 + \csc a_2 \csc a_3 + \dots + \csc a_{n-1} \csc a_n)$ है।

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अनंत श्रेणी $\frac{3}{4} - \frac{5}{4^2} + \frac{3}{4^3} - \frac{5}{4^4} + \frac{3}{4^5} - \frac{5}{4^6} + \dots$ का योग ज्ञात कीजिए।

योगफल $\sum_{k=1}^{20}(1+2+3+\ldots+k)$ का मान है

$\sum_{j=1}^{11} (2 + 3^j)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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