यदि $\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = p$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\cos \theta = \frac{p^{2} - 1}{p^{2} + 1}$.

(N/A) दिया गया है,$\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = p$.
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ और $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = p$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें मिलता है $\frac{(1 + \cos \theta)^{2}}{\sin^{2} \theta} = p^{2}$.
सर्वसमिका $\sin^{2} \theta = 1 - \cos^{2} \theta = (1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(1 + \cos \theta)^{2}}{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)} = p^{2} \Rightarrow \frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = p^{2}$.
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:
$\frac{p^{2} - 1}{p^{2} + 1} = \frac{(1 + \cos \theta) - (1 - \cos \theta)}{(1 + \cos \theta) + (1 - \cos \theta)}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{p^{2} - 1}{p^{2} + 1} = \frac{1 + \cos \theta - 1 + \cos \theta}{1 + \cos \theta + 1 - \cos \theta} = \frac{2 \cos \theta}{2} = \cos \theta$.
अतः,$\cos \theta = \frac{p^{2} - 1}{p^{2} + 1}$. इति सिद्धम्।