यदि I_{n} = int_{frac{pi}{4}}^{frac{pi}{2}} c | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $I_{n} = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{n} x \, dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{n-2} x (\csc^{2} x - 1) \,

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$\frac{1}{I_{2}+I_{4}}, \frac{1}{I_{3}+I_{5}}, \frac{1}{I_{4}+I_{6}}$ $A.P.$ में हैं।

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $I_{n} = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{n} x \, dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{n-2} x (\csc^{2} x - 1) \, dx$$= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{n-2} x \csc^{2} x \, dx - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{n-2} x \, dx$$= \left[ -\frac{\cot^{n-1} x}{n-1} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} - I_{n-2}$$= \left( 0 - (-\frac{1}{n-1}) \right) - I_{n-2} = \frac{1}{n-1} - I_{n-2}$$\Rightarrow I_{n} + I_{n-2} = \frac{1}{n-1}$$n=4$ के लिए,$I_{4} + I_{2} = \frac{1}{3}$$n=5$ के लिए,$I_{5} + I_{3} = \frac{1}{4}$$n=6$ के लिए,$I_{6} + I_{4} = \frac{1}{5}$अतः,पद $\frac{1}{I_{2}+I_{4}} = 3$,$\frac{1}{I_{3}+I_{5}} = 4$,और $\frac{1}{I_{4}+I_{6}} = 5$ हैं।चूंकि $3, 4, 5$ $A.P.$ में हैं,इसलिए अनुक्रम $\frac{1}{I_{2}+I_{4}}, \frac{1}{I_{3}+I_{5}}, \frac{1}{I_{4}+I_{6}}$ $A.P.$ में है।

यदि $I_{n} = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{n} x \, dx$ है,तो:

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