मान लीजिए $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} \tan^{-1} x \, dx$ है। यदि सभी $n \geq 1$ के लिए $a_{n} I_{n+2} + b_{n} I_{n} = c_{n}$ है, तो

$ 6\int_{0}^{\pi}|(\sin 3x+\sin 2x+\sin x)| dx $ का मान .... है।

मान लीजिए $f(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} x^{2} \left(1 - \frac{x}{\alpha}\right)^{\alpha} dx$ (जहाँ $\alpha > 0$),तो $\sum_{\alpha=1}^{5} \frac{f(\alpha)}{\alpha^{3}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए ${I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{1 + x}}} \,dx$ और ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{e^{{x^3}}}\left( {2 - {x^3}} \right)}}} \,dx$ है,तो $\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है जिसका अवकलज $f^{\prime}$ सतत है और $f(\pi)=-6$ है। यदि $F:[0, \pi] \rightarrow R$ को $F(x)=\int_0^{ x } f( t ) dt$ द्वारा परिभाषित किया गया है,और यदि $\int_0^\pi\left(f^{\prime}( x )+ F ( x )\right) \cos x dx =2$ है,तो $f(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{1/3} (\sum_{r=0}^{101} \{x + \frac{r}{3}\}) dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है)।