यदि 0

Question

(A) दिया गया है कि $	an^{-1} a + 	an^{-1} b = \frac{\pi}{4}$ जहाँ $0 < a, b < 1$ है।सूत्र $	an^{-1} a + 	an^{-1} b = 	an^{-1} \left(\frac{a+b}{1-

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$\log_e 2$

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(A) दिया गया है कि $	an^{-1} a + 	an^{-1} b = \frac{\pi}{4}$ जहाँ $0 सूत्र $	an^{-1} a + 	an^{-1} b = 	an^{-1} \left(\frac{a+b}{1-ab}ight) = \frac{\pi}{4}$ का उपयोग करने पर।दोनों पक्षों में $	an$ लेने पर,हमें $\frac{a+b}{1-ab} = 	an \frac{\pi}{4} = 1$ प्राप्त होता है।अतः,$a+b = 1-ab$,जिसका अर्थ है $a+b+ab = 1$ है।दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,हमें $1+a+b+ab = 2$ प्राप्त होता है,जिसे $(1+a)(1+b) = 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।दी गई श्रेणी $S = \left(a - \frac{a^2}{2} + \frac{a^3}{3} - \dotsight) + \left(b - \frac{b^2}{2} + \frac{b^3}{3} - \dotsight)$ है।लघुगणकीय विस्तार $\log_e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ का उपयोग करने पर,जहाँ $|x| $S = \log_e(1+a) + \log_e(1+b) = \log_e((1+a)(1+b))$ है।$(1+a)(1+b) = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S = \log_e 2$ प्राप्त होता है।

यदि $0 < a, b < 1$ और $\tan^{-1} a + \tan^{-1} b = \frac{\pi}{4}$ है,तो $(a+b) - \left(\frac{a^2+b^2}{2}\right) + \left(\frac{a^3+b^3}{3}\right) - \left(\frac{a^4+b^4}{4}\right) + \dots$ का मान ..... है।

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